Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，面PAB⊥面ABCD，PA=PB=$\sqrt{3}$，且四边形ABCD为菱形，AD=2，∠BAD=60°．
（1）求证：AB⊥PD；
（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB边中点G，连接PG，DG，DB，推导出PG⊥AB，DG⊥AB，由此能证明AB⊥PD．
（2）以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成的二面角的平面角的余弦值．

解答 证明：（1）取AB边中点G，连接PG，DG，DB．图1所示
∵PA=PB=$\sqrt{3}$，∴PG⊥AB，…（2分）
又∵四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴DG⊥AB，
又∵PG∩DG=G，∴AB⊥面PGD，
又∵PG?平面PGD，∴AB⊥PD． …（5分）
（2）又∵PG⊥AB，面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，
∴PG⊥面ABCD，…（6分）
∴以G为原点，GA，GD，GP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，图2所示．
G（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），C（-2，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（-2，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{2}$），
∵面PAB⊥面ABCD，且面PAB∩面ABCD=AB，DG⊥AB，
∴DG⊥面PAB，
∴$\overrightarrow{GD}$为面PAB的法向量，且$\overrightarrow{GD}$=（0，$\sqrt{3}$，0），…（8分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为面PCD的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-2x+\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，
令z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{2}，\sqrt{3}$），…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{GD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{GD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{GD}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
又平面PAB与平面PCD所成二面角的平面角为锐角，
故所求二面角的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．   …（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．