Question

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=3，AD=2$\sqrt{2}$，∠ABC=45°，P点在底面ABCD内的射影E在线段AB上，且PE=2，BE=2EA，F为AD的中点，M在线段CD上，且CM=λCD．
（Ⅰ）当λ=$\frac{2}{3}$时，证明：平面PFM⊥平面PAB；
（Ⅱ）当平面PAM与平面ABCD所成的二面角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$时，求四棱锥P-ABCM的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接EC，作AN∥EC交CD于点N，运用平面几何知识，可得四边形AECN为平行四边形，BE⊥EC．再由线面垂直的判定定理可得FM⊥平面PAB，运用面面垂直的判定定理即可得证；
（Ⅱ）以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出A，P，C，D的坐标，以及向量AP，AM的坐标，平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，0，1）$．设平面PAM的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，运用向量垂直的条件：数量积为0，求出一个法向量n，再由向量数量积的夹角公式，结合棱锥的体积公式计算即可得到所求．

解答 （Ⅰ）证明：连接EC，作AN∥EC交CD于点N，
则四边形AECN为平行四边形，CN=AE=1，
在△BCE中，BE=2，$BC=2\sqrt{2}$，∠ABC=45°，
由余弦定理得EC=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-2×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2．
所以BE²+EC²=BC²，从而有BE⊥EC．
在△AND中，F，M分别是AD，DN的中点，
则FM∥AN，FM∥EC，
因为AB⊥EC，所以FM⊥AB．
由PE⊥平面ABCD，FM?平面ABCD，
得PE⊥FM，又FM⊥AB，PE∩AB=E，
得FM⊥平面PAB，又FM?平面PFM，
所以平面PFM⊥平面PAB．
（Ⅱ）以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（-1，0，0），P（0，0，2），C（0，2，0），D（-3，2，0），
$\overrightarrow{AP}=（1，0，2）$，$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+λ\overrightarrow{CD}=（1-3λ，2，0）$．
平面ABCD的一个法向量为$\overrightarrow m=（0，0，1）$．
设平面PAM的法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow n=0$，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow n=0$，得$\left\{\begin{array}{l}x+2z=0\\（1-3λ）x+2y=0\end{array}\right.$令x=2，得$\overrightarrow n=（2，3λ-1，-1）$．
由题意可得，$|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞|=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}$=$\frac{1}{{\sqrt{5+{{（3λ-1）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$，
所以四棱锥P-ABCM的体积V_P-ABCM=$\frac{1}{3}$S_梯形ABCM•PE=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×（1+3）×2×2=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，注意运用线面垂直的判定定理，考查二面角的平面角的求法，注意运用向量法，考查转化思想和化简整理的运算能力，属于中档题．