Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{x}$．
（1）证明f（x）在[2，6]上为减函数；
（2）求f（x）在[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形、定符号和下结论几个步骤；
（2）运用（1）的结论，即可得到最值．

解答 （1）证明：设2≤x₁＜x₂≤6，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵2≤x₁＜x₂≤6；
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，6]上是减函数，
（2）由（1）可知，f（x）在[2，6]上是减函数，
∴f（x）_max=f（2）=$\frac{1}{2}$，f（x）_min=f（6）=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查函数的单调性的证明和运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．