Question

6．已知点P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-2≤0}\\{y-1≤0}\\{x+2y-2≥0}\end{array}\right.$，表示的平面区域上运动，则$z=\frac{2x+y-12}{x-4}$取值范围是（　　）

• A． [-2，-1]
• B． [-2，1]
• C． [-1，2]
• D． $[\frac{11}{4}，4]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用分式的性质结合直线斜率的公式，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
$z=\frac{2x+y-12}{x-4}$=$\frac{2（x-4）+y-4}{x-4}$=2+$\frac{y-4}{x-4}$，
设k=$\frac{y-4}{x-4}$，
则k的几何意义是区域内的点到点D（4，4）的斜率，
其中A（0，1），B（2，0），
由图象知AD的斜率最小，BD的斜率最大，
则k_AD=$\frac{4-1}{4}$=$\frac{3}{4}$，k_BD=$\frac{4-0}{4-2}=\frac{4}{2}$=2，
则$\frac{3}{4}$≤k≤2，$\frac{11}{4}$≤k+2≤4，
即$\frac{11}{4}$≤z≤4，
故选：D

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据直线斜率的公式，结合数形结合是解决本题的关键．