Question

9．如图，已知圆上的$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，设M是$\widehat{AC}$的中点，
（Ⅰ）证明：∠BCD=2∠ACM；
（Ⅱ）若CD=2，BC=4，求BE的长．

Answer 1

分析 （I）由同圆中等圆弧的性质可得∠ABC=∠BCD．由弦切角定理可得∠ACE=∠ABC，即可得出证明．
（II）利用弦切角定理可得∠CDB=∠BCE，由相似三角形的判定定理可得△BEC∽△CBD，由相似三角形的性质可得$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，即可求出BE．

解答 （Ⅰ）证明：∵$\widehat{AC}$=$\widehat{BD}$，∴∠ABC=∠BCD．
又∵EC为圆的切线，∴∠ACE=∠ABC，
∴∠ACE=∠BCD．
∵M是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠ACE=2∠ACM；
（Ⅱ）解：∵EC为圆的切线，∴∠CDB=∠BCE，
由（Ⅰ）可得∠BCD=∠ABC．
∴△BEC∽△CBD，∴$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{EB}$，
∴BC²=CD•EB，
∵CD=2，BC=4，
∴16=2BE，解得BE=8．

点评 熟练掌握同圆中等圆弧的性质、弦切角定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．