Question

9．过点P（2，1）作直线l交x，y正半轴于A，B两点，当|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|取到最小值时，直线l的方程是（　　）

• A． x+y-3=0
• B． x+2y-4=0
• C． x-y+3=0
• D． x-2y-4=0

Answer 1

分析 本题常规思想是采用待定系数法，设直线l方程y=k（x-2）+1，表示出点A、B的坐标，根据直线过x轴、y轴正半轴，确定向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$方向相反，再利用数量积运算及基本不等式，求当|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|取到最小值时的参数k．
也可以用四个选项进行验证比较，①是否过P点，②直线的斜率是否为负，②|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值谁最小．

解答 解法一：
解：由题知，直线l的斜率存在且小于0，故设直线l的方程为y=k（x-2）+1，
令y=0，得x=$2-\frac{1}{k}$，
令x=0，得y=1-2k，
所以，A（$2-\frac{1}{k}$，0），B（0，1-2k），
故 $\overrightarrow{PA}$=（$-\frac{1}{k}$，-1），$\overrightarrow{PB}$=（-2，-2k），
又由题，及右图知向量$\overrightarrow{PA}$与$\overrightarrow{PB}$方向相反，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|cos＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{PB}＞$=$-|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$，
∴$|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$=$-\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$-（\frac{2}{k}+2k）$=$（-\frac{2}{k}）+（-2k）$．
∵k＜0
∴$-（\frac{2}{k}+2k）$=$（-\frac{2}{k}）+（-2k）$ $≥2\sqrt{（-\frac{2}{k}）•（-2k）}$=4．
当且仅当 k=-1时，取得 $|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|$的最小值4．
∴直线l的方程为：y=-（x-2）+1即x+y-3=0，
故选：A．
解法二：
解：由题，直线l交x，y正半轴于A，B两点，知直线l的斜率为负值，
C选项，斜率为1，故排除．
D选项，斜率为$\frac{1}{2}$，故排除．
A选项，斜率为-1，符合．
B选项，斜率为$-\frac{1}{2}$，符合．
故选项A、B进行下一步的筛选，
比较|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的值，若值跟大，则排除，值更小，则是答案．
A选项：直线l与x轴、y轴的交点分别为A（3，0），B（0，3），
计算|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-1）^{2}}$•$\sqrt{（0-2）^{2}+（3-1）^{2}}$=4，
B选项：直线l与x轴、y轴的交点分别为A（4，0），B（0，2）
计算|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|=$\sqrt{（4-2）^{2}+（0-1）^{2}}$•$\sqrt{（0-2）^{2}+（2-1）^{2}}$=5，
知 4＜5．
故选：A．

点评 知识点考查了直线与向量的综合应用，向量的数量积与模积的关系，基本不等式；数学思想方法考查了数形结合、待定系数法、排除法、比较法．综合性虽然比较强，但考查的是常用知识点，没有设置易错点，故属于中档题．