Question

11．设函数f（x）=x⁴+ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
（1）当a=-$\frac{10}{3}$时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，0]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，结合二次函数的性质求出满足条件的a的范围即可；
（3）根据函数的单调性得到b≤a-2在a∈[-2，2]上恒成立．所以 b≤-2-2，求出b的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=4x³+3ax²+4x=x（4x²+3ax+4）．
当a=-$\frac{10}{3}$时，f′（x）=x（4x²-10x+4）=2x（2x-1）（x-2）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=$\frac{1}{2}$，x₃=2．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

x	（-∞， 0）	0	（0，$\frac{1}{2}$）	$\frac{1}{2}$	（$\frac{1}{2}$，2）	2	（2， +∞）
f′（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	?↘	极小值	?↗	极大值	?↘	极小值	?↗

所以f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上是增函数，在（-∞，0）和（$\frac{1}{2}$，2）上是减函数．
（2）f′（x）=x（4x²+3ax+4），显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．
由于f（x）仅在x=0处有极值，则方程4x²+3ax+4=0有两个相等的实根或无实根，△=9a²-64≤0，
解此不等式，得-$\frac{8}{3}$≤a≤$\frac{8}{3}$．这时，f（0）=b是唯一极值．
因此满足条件的a的取值范围是$[{-\frac{8}{3}，\frac{8}{3}}]$．
（3）由（2）知，当a∈[-2，2]时，4x²+3ax+4＞0恒成立．
所以 当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）在区间（-∞，0]上是减函数．
因此函数f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）．
又因为对任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，0]上恒成立，
所以 f（-1）≤1，即3-a+b≤1．
于是b≤a-2在a∈[-2，2]上恒成立．所以 b≤-2-2，
即b≤-4．因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．