Question

11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程：
（2）过点D（0，1）且斜率为k的动直线l与椭圆C相交于A、B两点，E是y轴上异于点D的一点，记△EAD与△EBD的面积分别为S₁，S₂，满足S₁=λS₂，其中λ=$\frac{{|{EA}|}}{{|{EB}|}}$．
（i）求点E的坐标：
（ii）若λ=2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即可求得椭圆方程；
（2）（i）根据三角形的面积公式，求得sin∠AED=sin∠BED，则∠AED=∠BED，可得k₁+k₂=0，设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得m的值，求得点E的坐标：
（ii）由（i）可知：$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，根据向量的数量积的坐标运算及韦达定理即可求得k的值，求得直线l的方程．

解答 解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，2a=4，a=2，焦距2c=2，c=1．
则b²=a²-c²=3，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）（i）由S₁=$\frac{1}{2}$丨EA丨丨ED丨sin∠AED，S₂=$\frac{1}{2}$丨EB丨丨ED丨sin∠BED，
S₁=λS₂，丨EA丨sin∠AED=λ丨EB丨sin∠BED，
由λ=$\frac{{|{EA}|}}{{|{EB}|}}$．则sin∠AED=sin∠BED，
由∠AED+∠BED＜π，∴∠AED=∠BED，
因此直线EA和ED的倾斜角互补，
由题意可知直线EA和EB的斜率存在，分别设为k₁，k₂，则k₁+k₂=0，
由题意可知，直线l的方程y=kx+1，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，
由△＞0恒成立，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（0，m），
x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}}$=$\frac{k{x}_{1}+1-m}{{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+1-m}{{x}_{2}}$，
=2k+（1-m）（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=2k+（1-m）$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
=2k+k（1-m）=k（3-m），
由k₁+k₂=0，则k（3-m）=0，对任意k∈R恒成立，则m=3，
∴存在点E点坐标为（0，3）；
（ii）由λ=2时，S₁=2S₂，$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2，
为△EAD与△EBD都以E为顶点，又有相同的高，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{丨AD丨}{丨DB丨}$，
∴$\frac{丨AD丨}{丨DB丨}$=2，则$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（0，1），则$\overrightarrow{AD}$=（-x₁，1-y₁），$\overrightarrow{DB}$=（x₂，y₂-1），
由$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，则（-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1），
∴-x₁=2x₂，即x₁=-2x₂，代入解得：-x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，-x₂²=$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₂=$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₂²=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，
∴（$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$）²=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$，解得：k=±$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，直线斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．