Question

7．如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃的大小关系为S₁＞S₂＞S₃．

Answer 1

分析 设OA=a，OB=b，OC=c．过点A，B，C分别作AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D，E，F．由已知利用线面垂直的判定定理可得：OA⊥平面OBC，OA⊥BC，可得BC⊥OD．利用OD=$\frac{OB•OC}{BC}$，可得S₁=S_△OAD=$\frac{abc}{2\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$．同理可得：S₂=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，S₃=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．利用a＞b＞c即可得出大小关系．

解答 解：设OA=a，OB=b，OC=c．
过点A，B，C分别作AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为D，E，F．
连接OD，OE，OF，则△OAD，△OBE，△OCF分别为截面．
由已知可得：OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O，∴OA⊥平面OBC，
∴OA⊥BC，又AD∩OA=A，则BC⊥平面OAD，∴BC⊥OD．
∴OD=$\frac{OB•OC}{BC}$=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$，∴S₁=S_△OAD=$\frac{1}{2}a•\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{abc}{2\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$．
同理可得：S₂=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$，S₃=$\frac{abc}{2\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$．
∵a＞b＞c，∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$＞\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}$$＞\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}}}$＜$\frac{1}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$．
∴S₁＞S₂＞S₃．
故答案为：S₁＞S₂＞S₃．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．