Question

16．设a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，面积$S=\frac{1}{2}{c^2}$．若$ab=\sqrt{2}$，则a²+b²+c²的最大值是4．

Answer 1

分析 由已知及三角形面积公式可求c²=$\sqrt{2}$sinC，利用余弦定理可求a²+b²=$\sqrt{2}$sinC+2$\sqrt{2}$cosC，利用三角函数恒等变换的应用可求a²+b²+c²=4sin（C+$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的有界性即可求得a²+b²+c²的最大值．

解答 解：∵$S=\frac{1}{2}{c^2}$=$\frac{1}{2}$absinC，$ab=\sqrt{2}$，
∴c²=$\sqrt{2}$sinC，
∴$\sqrt{2}$sinC=a²+b²-2abcosC，可得：a²+b²=$\sqrt{2}$sinC+2$\sqrt{2}$cosC，
∴a²+b²+c²=$\sqrt{2}$sinC+2$\sqrt{2}$cosC+$\sqrt{2}$sinC=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosC）=4sin（C+$\frac{π}{4}$）≤4，
即a²+b²+c²的最大值是4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的有界性在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．