Question

6．给出下列命题：
①函数y=sinx在第一象限是增函数；
②函数y=cos（ωx+φ）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$；
③函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{2}$π）是偶函数；
④函数y=cos2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象．
其中正确的命题是③．

Answer 1

分析 ①根据正弦函数单调性的性质进行判断，
②根据三角函数的周期公式进行计算即可，
③利用三角函数的诱导公式进行化简判断即可，
④利用三角函数的图象平移关系进行化简．

解答 解：①函数y=sinx在第一象限不具备单调性，比如α=$\frac{π}{4}$和β=$\frac{π}{4}$+2π是第一象限角，满足α＜β，但sinα=sinβ，故①错误；
②函数y=cos（ωx+φ）的最小正周期T=$\frac{2π}{|ω|}$，故②错误；
③函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{7}{2}$π）=sin（$\frac{2}{3}$x+4π-$\frac{π}{2}$）=sin（$\frac{2}{3}$x-$\frac{π}{2}$）=-cos$\frac{2}{3}$x是偶函数，故③正确；
④函数y=cos2x的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到y=cos2（x+$\frac{π}{4}$）=cos（2x+$\frac{π}{2}$）=-sin2x的图象，故④错误．
故正确的是③，
故答案为：③

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和化简能力．