Question

12．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂．P为双曲线右支上任意一点，$\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}}}{{|{P{F_2}}|}}$的最小值为8a，求双曲线离心率的取值范围．

Answer 1

分析 首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用均值不等式建立关系式，$\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\frac{（2a+n）^{2}}{n}$=4a+$\frac{4{a}^{2}}{n}$+n≥8a，即可求出结果．

解答 解：设|PF₂|=n，（n≥c-a），
则：根据双曲线的定义：|PF₁|=2a+n，
则：$\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}}}{{|{P{F_2}}|}}$=$\frac{（2a+n）^{2}}{n}$=4a+$\frac{4{a}^{2}}{n}$+n≥8a，
当且仅当n=2a时成立．
所以：c-a≤2a，即c≤3a，
即解得：1＜e≤3，
双曲线的离心率的取值范围为：（1，3]．

点评 本题考查的知识要点：双曲线的定义的应用．双曲线的离心率，均值不等式的应用，属于中等题型．