Question

6．设函数f（x）=ln（x+1）-ax．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设函数g（x）=（x+1）f（x）+a（2x²+3x），若对任意x≥0都有g（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得当a=1时的函数f（x）的导数，求得单调区间，可得x=0取得极大值，且为最大值；
（Ⅱ）求得g（x）的导数，由a=1可得ln（x+1）≤x对x＞-1恒成立，对a讨论，分①当a≤-$\frac{1}{2}$时，②当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，③当a≥0时，运用函数的单调性和不等式的性质，即可得到所求a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，
导数f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1=-$\frac{x}{1+x}$（x＞-1），
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）递减．
可得x=0处，f（x）取得极大值，且为最大值f（0）=0；
（Ⅱ）由函数g（x）=（x+1）f（x）+a（2x²+3x）=（x+1）ln（x+1）+a（x²+2x），
导数g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1（x＞-1），
由（Ⅰ）可得a=1时，f（x）≤f（0）=0，即ln（x+1）≤x对x＞-1恒成立．
①当a≤-$\frac{1}{2}$时，g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1≤x+2ax+2a+1=（2a+1）（x+1）≤0，
即g（x）在[0，+∞）递减，从而g（x）≤g（0）=0满足题意；
②当-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，存在x∈（0，-$\frac{1}{2a}$-1），使得ln（x+1）＞0，1+2a（x+1）＞0，
从而g′（x）=ln（x+1）+2ax+2a+1＞0，即g（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$-1）递增，
故存在x₀∈（0，-$\frac{1}{2a}$-1），使得g（x0）＞g（0）=0，不满足题意；
③当a≥0时，?x＞0，g（x）=（x+1）ln（x+1）+a（x²+2x）＞0，此时不满足题意．
综上可得，a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及不等式的性质，函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于难题．