Question

5．已知x为锐角，求函数y=$\frac{6\sqrt{3}}{sinx}+\frac{2}{cosx}$的最小值．

Answer 1

分析 利用导数求得函数y的单调区间，由单调区间求得函数的极值点，从而求得函数的最小值．

解答 解：∵x为锐角，∴sinx＞0，cosx＞0，y=$\frac{6\sqrt{3}}{sinx}+\frac{2}{cosx}$＞0．
∵y′=$\frac{0-6\sqrt{3}cosx}{{sin}^{2}x}$+$\frac{0-（-2sinx）}{{cos}^{2}x}$=$\frac{2{•sin}^{3}x-6\sqrt{3}{•cos}^{3}x}{{sin}^{2}x{•cos}^{2}x}$，
令y′=0，求得tanx=$\sqrt{3}$，x=$\frac{π}{3}$．
当x∈（0，$\frac{π}{3}$）时，tanx＜$\sqrt{3}$，y′＜0，y为减函数；
当x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）时，tanx＞$\sqrt{3}$，y′＞0，y为增函数，
故当x=$\frac{π}{3}$时，函数y取得最小值为$\frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$+$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=16，
故答案为：16．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的最值，属于中档题．