Question

19．在△ABC中，角A、B，C所对的边分别为a、b、c且满足asinB=b，则当$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值时，cosB的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据正弦定理得到sinA=1，A=$\frac{π}{2}$，结合辅助角公式得到$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值时的关系，进行求解即可．

解答 解：在△ABC中，∵asinB=b，
∴sinAsinB=sinB，
即sinA=1，则A=$\frac{π}{2}$，
则B+C=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{2}$-B，
即$\sqrt{2}$sinB+sinC=$\sqrt{2}$sinB+sin（$\frac{π}{2}$-B）=$\sqrt{2}$sinB+cosB=$\sqrt{3}$（sinB•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$+cosB•$\frac{1}{\sqrt{2}}$），
令cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，sinθ=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
则$\sqrt{2}$sinB+sinC=$\sqrt{3}$（sinB•cosθ+cosB•sinθ）=$\sqrt{3}$sin（B+θ），则当sin（B+θ）=1时，$\sqrt{2}$sinB+sinC取得最大值，
此时cos（B+θ）=0，
则cosB=cos（B+θ-θ）=cos（B+θ）cosθ+sin（B+θ）sinθ=sinθ=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数最值的应用，根据正弦定理以及辅助角公式是解决本题的关键．考查学生的转化能力．