Question

11．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响．对近8年的年宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\overrightarrow x$	$\overrightarrow y$	$\overrightarrow w$	$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中w_i=$\sqrt{x_i}$，$\overrightarrow w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d$\sqrt{x}$哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x．根据（2）的结果，当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\widehatβ=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline{v）}}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\widehatα=\overline v-\widehatβ\overline u$．

Answer 1

分析 （1）由于散点图是否按直线型分布的判断；
（2）令w=$\sqrt{x}$，先求出y关于w线性的回归方程，再转化为y关于x的回归方程；
（3）把x=49代入回归方程求出销售量的预测值，再代入利润公式计算利润．

解答 解：（1）由散点图可以判断，y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型．
（2）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程．
d=$\frac{\sum_{i=1}^{8}（{ω}_{i}-\overline{ω}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{8}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$=$\frac{108.8}{1.6}=68$，
c=$\overline{y}$-d$\overline{ω}$=563-68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$．
（3）当x=49时，年销售量y的预报值$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利润z的预报值z=576.6×0.2-49=66.32．

点评 本题考查了可化为线性相关的回归方程的求解以及利益回归方程进行数值预测，属于中档题．