Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的左顶点以及右焦点，以及渐近线方程，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，列出a、b、c关系式，然后由离心率公式即可计算得到．

解答： 解：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为（c，0），左顶点为（-a，0），
右焦点到双曲线渐近线bx-ay=0的距离为：

|bc|

a2+b2

=

bc

c

=b，
右焦点（c，0）到左顶点为（-a，0）的距离为：a+c，
由题意可得，b=

1

2

（a+c），
即有4b²=a²+c²+2ac，即4（c²-a²）=a²+c²+2ac，
即3c²-5a²-2ac=0，
由e=

c

a

，则有3e²-2e-5=0，
解得，e=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．