Question

y=lnx上的点到直线x-y+7=0的最短距离是（　　）

• A．

  2

• B．3

  2

• C．4

  2

• D．5

  2

Answer 1

分析：求点到直线的最短距离转换为求函数的最小值，然后利用导数研究最值，即可求出所求．

解答：解：y=lnx上的点到直线x-y+7=0的距离是：|

x-lnx+7

2

|
求最短距离即可转化为求函数y=x-lnx的最小值
∵y′=1-

1

x

=

x-1

x

可知：当x∈（0，1），y′＜0
当x∈（1，+∞），y′＞0
故可知g在（0，1）是减函数，（1，+∞）是增函数，
故函数的最小值在x=1处取得即函数的最小值为1
所以：最短距离为

1+7

2

=4

2

，
故选C

点评：熟记点到直线的距离公式，掌握求函数最值的方法是解决该题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．