题目内容

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求f（x）的表达式并完成下面的表格和画出f（x）在[0，π]范围内的大致图象；
0$\frac{π}{2}$π$\frac{3}{2}π$
x0π
f（x）

（2）若方程f（x）-m=0在[0，π]上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．

分析 （1）求出f（x）的表达式，画出函数图象即可；（2）结合图象，得到$\frac{α+β}{2}=\frac{4}{12}π$或$\frac{10}{12}π$，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$），

$2x-\frac{π}{6}$$-\frac{π}{6}$0$\frac{π}{2}$π$\frac{3}{2}π$$\frac{11}{6}π$
x0$\frac{π}{12}$$\frac{4}{12}π$$\frac{7}{12}π$$\frac{10}{12}π$π
f（x）$-\frac{1}{2}$010-1$-\frac{1}{2}$
如图示：

（2）由图可知m∈（-1，-$\frac{1}{2}$）∪（-$\frac{1}{2}$，1），
$\frac{α+β}{2}=\frac{4}{12}π$或$\frac{10}{12}π$，
∴$α+β=\frac{2}{3}π$或$\frac{5}{3}π$．

点评 本题考查了向量问题，考查三角函数的图象及画法，考查方程根的问题，是一道中档题．

练习册系列答案
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16．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：OC∥AD；
（2）若AD=2，AC=$\sqrt{5}$，求AB的长．
17．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值点为b，极小值为c，则ad=（　　）
A．4B．-4C．2D．-2
14．下列说法不正确的是（　　）
A．任何一个算法一定含有顺序结构
B．一个算法可能同时含有顺序结构、条件结构、循环结构
C．循环结构中一定包含条件结构
D．条件结构中一定包含循环结构
1．画出下列空间几何体的三视图（图②中棱锥的各个侧面都是等腰三角形）．
11．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，y轴上一点Q的坐标为（0，3）．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）若对于直线l：y=x+m，椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且3$\overline{QA}$•$\overline{QB}$＜32，求实数m的取值范围．
6．给出下列五种说法：
①函数$y={x^{\frac{1}{2}}}$与函数$y={（\frac{1}{2}）^x}$的值域相同；
②若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，4]；
③函数y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$与$y=\frac{{{{（1+{2^x}）}^2}}}{{x•{2^x}}}$均为奇函数；
④若f（x+y）=f（x）f（y），且f（1）=2，$\frac{f（2）}{f（1）}$+$\frac{f（4）}{f（3）}$+…+$\frac{f（2014）}{f（2013）}$+$\frac{f（2016）}{f（2015）}$=2016；
⑤已知f（x）=kx，g（x）=（k2-2）x2-2kx，若f（x），g（x）至少有一个在（1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是$[-\sqrt{3}，-\sqrt{2}）∪（0，+∞）$．
其中错误说法的序号是①②⑤．
3．设函数f（x）=sinωx+cosωx-1（ω＞0），将y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个长度单位后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（　　）
A．9B．6C．3D．$\frac{1}{3}$
4．lg1000的值等于（　　）
A．3B．-3C．0D．1

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