如图.两个工厂A.B相距8.O为AB的中点.曲线段MN上任意一点P到A.B的距离之和为10.且MA⊥AB.NB⊥AB．现计划在P处建一公寓.需考虑工厂A.B对它的噪音影响．工厂A对公寓的“噪音度与距离AP成反比.比例系数为1,工厂B对公寓的“噪音度与距离BP成反比.比例系数为k．“总噪音度 y是两个工厂对公寓的“噪音度之和� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，两个工厂A，B相距8（单位：百米），O为AB的中点，曲线段MN上任意一点P到A，B的距离之和为10（单位：百米），且MA⊥AB，NB⊥AB．现计划在P处建一公寓，需考虑工厂A，B对它的噪音影响．工厂A对公寓的“噪音度”与距离AP成反比，比例系数为1；工厂B对公寓的“噪音度”与距离BP成反比，比例系数为k．“总噪音度”y是两个工厂对公寓的“噪音度”之和．经测算：当P在曲线段MN的中点时，“总噪音度”y恰好为1．
（Ⅰ）设AP=x（单位：百米），求“总噪音度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；
（Ⅱ）当AP为何值时，“总噪音度”y最小．

分析（Ⅰ）连接AP，BP，以AB为x轴，以O点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，求出曲线段MN的方程，即可求“总噪音度”y关于x的函数关系式，并求出该函数的定义域；
（Ⅱ）换元，利用基本不等式，即可得出当AP为何值时，“总噪音度”y最小．

解答解：（Ⅰ）连接AP，BP，由已知得AP=x，BP=10-x，（1分）
∴y=$\frac{1}{x}$+$\frac{k}{10-x}$，（3分）
以AB为x轴，以O点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．
由椭圆定义可得，曲线段MN的方程：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1（-4≤x≤4），（4分）
由已知得|MA|=$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{9}{5}$，|AN|=$\sqrt{64+\frac{81}{25}}$=$\frac{41}{5}$，
∴$\frac{9}{5}≤x≤\frac{41}{5}$．（5分）
当点P在曲线段MN的中点即AP=x=5时，$\frac{1}{5}+\frac{k}{5}$=1，k=4，
所求函数为y=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{10-x}$（$\frac{9}{5}≤x≤\frac{41}{5}$）．（6分）
（Ⅱ）y=$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{10-x}$（$\frac{9}{5}≤x≤\frac{41}{5}$），可化为y=$\frac{3x+10}{x（10-x）}$，（7分）
设t=3x+10，t$∈[\frac{77}{5}$，$\frac{183}{5}$]，（8分）
∴y=$\frac{9}{-（t+\frac{400}{t}）+50}$≥$\frac{9}{10}$，（10分）
当且仅当t=$\frac{400}{t}$，即t=20t$∈[\frac{77}{5}$，$\frac{183}{5}$]，
即x=$\frac{10}{3}$时，“总噪音度”y的最小值为$\frac{9}{10}$．（12分）