Question

19．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点M、N分别为线段A₁B、AC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面BB₁C₁C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC₁，求证：MN⊥AD．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面BB₁C₁C．
（2）利用线面垂直的性质可证CC₁⊥AD，结合已知可证AD⊥平面BB₁C₁C，从而证明AD⊥BC，结合（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD．

解答 （本题满分为14分）
证明：（1）如图，连接A₁C，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C为平行四边形，
又∵N分别为线段AC₁的中点．
∴AC₁与A₁C相交于点N，即A₁C经过点N，且N为线段A₁C的中点，…2分
∵M为线段A₁B的中点，
∴MN∥BC，…4分
又∵NN?平面BB₁C₁C，BC?平面BB₁C₁C，
∴MN∥平面BB₁C₁C…6分
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
又AD?平面ABC₁，所以CC₁⊥AD，…8分
∵AD⊥DC₁，DC₁?平面BB₁C₁C，CC₁?平面BB₁C₁C，CC₁∩DC₁=C₁，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，…10分
又∵BC?平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BC，…12分
又由（1）知，MN∥BC，
∴MN⊥AD…14分

点评 本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的性质的应用，考查了数形结合思想，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．