Question

20．正方形ABCD所在的平面与三角形ABE所在的平面交于AB，且DE⊥平面ABE，ED=AE=1．
（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；
（2）求平面CEB与平面ADE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DE⊥AB，AD⊥AB，从而AB⊥平面ADE，由此能证明平面ABCD⊥平面ADE．
（2）以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，以过A点垂直平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CEB与平面ADE成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵DE⊥平面ABE，AB?平面ABE，∴DE⊥AB，
又四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，
∵DE与AD相交，∴AB⊥平面ADE，
∵AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面ADE．
解：（2）由（1）知AB⊥AE，以A为原点，AB为x轴，AE为y轴，
以过A点垂直平面ABE的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
∵ED=AE=1，∴AD=$\sqrt{2}$，E（0，1，0），B（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，1，1），
$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{2}$，0，0），C（$\sqrt{2}$，1，1），$\overrightarrow{EC}$=（$\sqrt{2}，0，1$），$\overrightarrow{EB}$=（$\sqrt{2}，-1，0$），
设面BEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x-y=0}\\{\sqrt{2}x+z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}，2，-2$），
面ADE的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}×1}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴平面CEB与平面ADE成锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．