Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知tanA=$\frac{3}{4}$，b=5c．
（I）求sinC的值；
（II）若△ABC的面积S=6sinBsinC，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由$tanA=\frac{3}{4}，0＜A＜π$，可得A为锐角，利用同角三角函数基本关系式可得sinA，cosA．再利用正弦定理余弦定理即可得出．
（2）由$S=\frac{1}{2}acsinB=6sinBsinC$，得$ac=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$，又$a=3\sqrt{2}c$，联立解出即可得出．

解答 解：（1）∵$tanA=\frac{3}{4}，0＜A＜π$，
∴A为锐角，
∴$sinA=\frac{3}{5}，cosA=\frac{4}{5}$，
由余弦定理及b=5c，可得a²=b²+c²-2bccosA=18c²，即$a=3\sqrt{2}c$．
由正弦定理可得$sinC=\frac{csinA}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$．
（2）由$S=\frac{1}{2}acsinB=6sinBsinC$，得$ac=\frac{{6\sqrt{2}}}{5}$，
又$a=3\sqrt{2}c$，解得$a=\frac{{6\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．