Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1

（2）t＝2或t＝

【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，

则，解得a＝，b＝1，

故椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．

将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，

所以S△AOB＝|m| ＝.

解得m2＝或m2＝.①

又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，

又点P在椭圆上，所以＝1.②

由①②得t2＝4或t2＝.

又因为t＞0，所以t＝2或t＝.