Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AA₁=2，AC⊥BC，D是线段AB上一点．
（1）确定D的位置，使得平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）若AC₁∥平面B₁CD，设二面角D-CB₁-B的大小为θ，求证θ＜$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 （1）当CD⊥AB时，利用射影定理求得$AD=\frac{9}{5}$．再由线面垂直的判定及面面垂直的判定可得平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ．从而得到当AD=$\frac{9}{5}$时，平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ；
（2）以CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面CDB₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，再由平面CBB₁的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，0）$，求出两法向量所成角的余弦值cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$＞$\frac{1}{2}$，可得二面角D-CB₁-B的大小θ＜$\frac{π}{3}$．

解答 （1）解：当CD⊥AB时，
∵AC⊥BC，AC=3，BC=4，∴AB=5，
∴由射影定理得AC²=AD×AB，解得$AD=\frac{9}{5}$．
∵BB₁⊥平面ABC，∴BB₁⊥CD．
∵AB∩BB₁=B，∴CD⊥平面ABB₁A₁．
又CD?平面B₁CD，∴平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ．
∴当AD=$\frac{9}{5}$时，平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁ ；
（2）证明：以CA、CB、CC₁所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（3，0，0），B₁（0，4，2），B（0，4，0）．
连接BC₁交B₁C于点O，则O为BC₁的中点．
∵平面ABC₁∩平面B₁CD=OD，且AC₁∥平面B₁CD，∴OD∥AC₁．
∴D为AB的中点．
∴$\overrightarrow{CD}=（\frac{3}{2}，2，0）$，$\overline{C{B}_{1}}=（0，4，2）$．
设平面CDB₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+2z=0}\end{array}\right.$，令x=4，可得平面B₁CD的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（4，-3，6）$，
而平面CBB₁的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，0，0）$，
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{4\sqrt{61}}{61}$，
∵二面角D-CB₁-B为锐角，
∴$cosθ=\frac{4\sqrt{61}}{61}$．
又$\frac{4\sqrt{61}}{61}=\frac{4}{\sqrt{61}}＞\frac{4}{\sqrt{64}}=\frac{1}{2}$．
∴θ＜$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．