Question

（2012•成都模拟）如图，AE⊥平面ABC，AE∥BD，AB=BC=CA=BD=2AE=2，F为CD中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCD；
（Ⅱ）求二面角C-DE-A的大小；
（Ⅲ）求点A到平面CDE的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FG∥BD且FG=

1

2

BD，又AE∥BD且AE=

1

2

BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF⊥平面BCD．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，则C（

3

，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），

CD

=(-

3

，1，2)，

ED

=(0，2，1)．求出面CDE的法向量

n1

=(

3

，-1，2)，（6分）面ABDE的法向量

n2

=(1，0，0)，由此能求出二面角C-DE-A的大小．
（Ⅲ）由面CDE的法向量

n1

=(

3

，-1，2)，

AE

=(0，0，1)，利用向量法能求出点A到平面CDE的距离．

解答：解：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=

1

2

BD，又AE∥BD且AE=

1

2

BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
∵AE⊥平面ABC，AE∥BD，
∴BD⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD，
∴平面ABC⊥平面BCD，
∵G为 BC中点，且AC=AB，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，
∴EF⊥平面BCD．（4分）
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，
分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（

3

，0，0），D（0，1，2），E（0，-1，1），A（0，-1，0），

CD

=(-

3

，1，2)，

ED

=(0，2，1)．
设面CDE的法向量

n1

=（x，y，z），
则

n1 • CD =- 3 x+y+2z=0 n1 • ED =2y+z=0

，
取

n1

=(

3

，-1，2)，（6分）
取面ABDE的法向量

n2

=(1，0，0)，（7分）
由cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3

( 3 )2+(-1)2+22×1

=

6

4

，
故二面角C-DE-A的大小为arc

6

4

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），
面CDE的法向量

n1

=(

3

，-1，2)，

AE

=(0，0，1)，
则点A到平面CDE的距离
d=

| AE • n1 |

| n1 |

=

2

( 3 )2+(-1)2+22

=

2

2

．（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．