Question

3．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），且点A到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的定义分析可得a=2，将点A的坐标代入椭圆方程可得$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}$=1，由a的值解可得b的值，计算可得c的值，由椭圆离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆上A到椭圆两焦点的距离之和为4，则2a=4，即a=2，
又由椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1经过点A（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），则有$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}$=1，
又由a=2，解可得b=1，
则c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则该椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，要掌握椭圆的定义以及离心率的计算公式．