题目内容
2．已知O为正三角形ABC内一点，且满足$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（1+λ）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则λ的值为$\frac{1}{2}$．分析 将条件变形为$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=-λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），设BC，AC中点分别为D，E，根据向量加法的几何意义得出O，D，E共线且OE=λOD．用三角形ABC的面积表示出△OAB与△OAC的面积，根据面积比列出方程解出λ．
解答 
解：∵$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$+（1+λ）$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow 0$，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=-λ（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），
设AC，BC的中点分别为E，D，则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OE}$，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=2$\overrightarrow{OD}$．
∴$\overrightarrow{OE}$=-λ$\overrightarrow{OD}$．
∴O，D，E三点共线，
∴S△AOB=$\frac{1}{2}$S△ABC，S△AOC=$\frac{λ}{λ+1}$S△ACD=$\frac{1}{2}•\frac{λ}{λ+1}$S△ABC，
∵S△AOB=3S△AOC，
∴$\frac{λ}{λ+1}=\frac{1}{3}$，解得$λ=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查了平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．
| A． | cos4-sin4 | B． | sin4-cos4 | C． | ±（sin4-cos4） | D． | sin4+cos4 |
| A． | cosα的最小值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | B． | cosα的最小值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$ | ||
| C． | sin（2α+$\frac{π}{2}$）的最小值为$\frac{1}{2}$ | D． | sin（$\frac{π}{2}$-2α）的最小值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ |
| A． | $\frac{π}{12}$ | B． | $\frac{π}{6}$ | C． | $\frac{π}{4}$ | D． | $\frac{5π}{12}$ |