Question

19．如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起到新位置变为四边形A′EFD′，使A′B=A′F（如图2所示）．
（1）证明：A′E⊥BF；
（2）若∠BAD=60°，A′E=$\sqrt{2}$A'B=2，求多面体A′BE-D′CF的体积．

Answer 1

分析 （1）取BF的中点O，连接A'O，EO，通过证明BF⊥平面A′OE得出A′E⊥BF；
（2）证明A′O⊥平面EFCB，计算OE，OA′，得出V_A′-BEF，于是三棱柱体积等于3V_A′-BEF．

解答 证明：（1）取BF的中点O连接A'O，EO，
∵A'B=A'F，BE=EF，
∴BF⊥A'O，BF⊥EO，
又A′O?平面A′OE，OE?平面A′OE，A'O∩EO=O，
∴BF⊥平面A'EO，∵A'E?平面A'EO
∴A'E⊥BF．   
（2）∵BE=EF=2，∠BEF=60°，
∴BF=2，$EO=\sqrt{3}$，
∵$A'E=\sqrt{2}A'B=2$，∴$A'B=A'F=\sqrt{2}$，
∵A′O⊥BF，∴A'O=1，
∴A′O²+OE²=A′E²，
∴A'O⊥EO，又A′O⊥BF，
∴A'O⊥平面BEF，
∴${V_{A'-BEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin{60°}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴${V_{A'BE-D'FC}}=3{V_{A'-BEF}}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥，棱柱的体积计算，属于中档题．