Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+mx，x＜0}\end{array}\right.$是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上的最小值为-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x＜0则-x＞0，运用已知x＞0的解析式，结合奇函数的定义，可得x＜0的解析式，进而得到m=2；
（2）求得f（-1）=-1，再求x＞0时，f（x）=-1，解得x=1+$\sqrt{2}$．画出f（x）的图象，由图象可得a的不等式组，解不等式可得a的范围．

解答 解：（1）设x＜0则-x＞0，
由x＞0，f（x）=-x²+2x，
可得f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）为奇函数，
即有f（-x）=-f（x），
于是x＜0时，f（x）=x²+2x=x²+mx，
可得m=2；                              
（2）由f（-1）=1-2=-1，
又x＞0时，f（x）=-x²+2x=-1，
可解得x=1+$\sqrt{2}$．
由于f（x）在区间[-1，a-2]上的最小值为-1，
作出y=f（x）的图象可得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞-1}\\{a-2≤1+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤3+\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以a∈（1，3+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查分段函数的奇偶性的运用：求参数的值，注意运用奇函数的定义，考查函数的最值的求法，注意运用函数的图象，考查运算能力，属于中档题．