题目内容
15．2015年国庆长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，国庆后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足：y=$\frac{27}{50}$x-ax2-ln $\frac{x}{10}$，x∈（2，t]，当x=10时，y=$\frac{22}{5}$．（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求旅游增加值y取得最大值时对应的x值．
分析 （1）代入求值可得a=$\frac{1}{100}$，求出解析式即可；
（2）求导函数，根据条件，利用导函数求函数的单调性，进而求出函数的最值．
解答 解：（1）∵当x=10时，y=$\frac{22}{5}$，即$\frac{27}{50}$×10-a×102-ln 1=$\frac{22}{5}$，解得a=$\frac{1}{100}$．
∴f（x）=$\frac{27}{50}$x-$\frac{x2}{100}$-ln $\frac{x}{10}$．x∈（2，t]…（4分）
（2）对f（x）求导，得$f'（x）=\frac{27}{50}-\frac{x}{50}-\frac{1}{x}=-\frac{{{x^2}-27x+50}}{50x}=-\frac{（x-2）（x-25）}{50x}$．
令f′（x）=0，得x=25或x=2（舍去）．…（6分）
当x∈（2，25）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（2，25）上是增函数；
当x∈（25，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（25，+∞）上是减函数
所以当t＞25时，当x∈（2，25）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，25）上是增函数；
当x∈（25，t]时，f′（x）＜0，f（x）在（25，t]上是减函数．
∴当x=25时，y取得最大值； …（8分）
当2＜t≤25时，当x∈（2，t）时，f′（x）＞0，f（x）在（2，t）上是增函数，
∴当x=t时，y取得最大值 …（10分）
综上：当t＞25时，x=25时，y取得最大值
当2＜t≤25时，x=t时，y取得最大值…（12分）
点评 考查了函数的应用和导函数求函数的最值．难点是对自变量t的取值分类讨论．
练习册系列答案
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