Question

11．已知数列{a_n}是等比数列，其前n项的和为S_n，a₁+2a₂=0，S₄-S₂=$\frac{1}{8}$．求a_n，S_n的表达式．

Answer 1

分析 根据条件建立方程关系求出公比q和首项，即可得到结论．

解答 解：∵a₁+2a₂=0，
∴a₁=-2a₂，
则q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{-2{a}_{2}}$=$-\frac{1}{2}$，
∵S₄-S₂=$\frac{1}{8}$．
∴a₄+a₃=$\frac{1}{8}$．
即a₁（q³+q²）=$\frac{1}{8}$．
即a₁[（$-\frac{1}{2}$）³+（$-\frac{1}{2}$）²]=$\frac{1}{8}$．
则$\frac{1}{8}$a₁=$\frac{1}{8}$．
得a₁=1，
则a_n=a₁q^n-1=（$-\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{3}$（$-\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题主要考查等比数列通项公式和前n项和公式的计算，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．