Question

8．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用椭圆的离心率公式和椭圆的定义，求得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，
c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和离心率公式，考查运算能力，属于基础题．