Question

已知函数.

（1）若函数为偶函数，求的值；

（2）若，求函数的单调递增区间；

（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）函数的单调递增区间为;（3）.

【解析】

试题分析：（1）任取，根据恒成立，得到恒成立，进一步可得解.

（2）当时，可得，

由函数的图像即得单调区间.

（3）不等式化为，

即：（*）

转化得到“对任意的恒成立”.

由于，所以分如下情况讨论：

①当时，转化成，根据

.

②当时，转化成，

由①知，根据，

；

③当时，转化成

.

试题解析：（1）任取，则有恒成立，

即恒成立

恒成立，恒成立

（特殊值法求出酌情给分） 3分

（2）当时，

由函数的图像可知，函数的单调递增区间为。 6分

（3）不等式化为

即：（*）

对任意的恒成立 7分

因为，所以分如下情况讨论：

①时，不等式（*）化为恒成立

即

上单调递增

只需

9分

②当时，不等式（*）化为恒成立

即

由①知，

12分

③当时，不等式（*）化为恒成立

即

由②得: 14分

综上所述，的取值范围是： 15分

考点：1.应用导数研究函数的单调性；2.应用导数确定函数的最值；3.转化与化归思想.