Question

已知函数f(x)＝(a²＋8)e^x，函数g(x)＝(x²＋ax－2a－3)e^3－x．

(1)若a＝0，求g(x)的单调递增区间；

(2)若a＞0，且存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得| f(ξ₁)－g(ξ₂)|_min＜3，求实数a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)(x)＝(2x＋a)e^3－x－(x²＋ax－2a－3)e^3－x＝e^3－x[－x²＋(2－a)x＋3a＋3]．

　　令－x²＋(2－a)x＋3(a＋1)＝0，因为a＝0，所以当－1＜x＜3时，(x)＞0，

　　所以g(x)的单调递增区间为(－1，3)．　5分

　　(2)因为对任意的a值，(x)＞0恒成立，所以当a＞0时函数f(x)＝(a²＋8)e^x在[0，4]上单调递增，

　　所以f(x)_min＝f(0)＝a²＋8．　7分

　　令(x)＝0，得x₁＝3，x₂＝－(a＋1)．因为a＞0，所以x₂＝－(a＋1)＜0．

　　所以g(x)_max＝g(3)＝6＋a．　10分

　　由a²＋8＞6＋a，即f(x)_min＞g(x)_max，所以| f(ξ₁)－g(ξ₂)|_min＜3，即a²－a＋2＜3，

　　所以，解得a∈(0，)．　13分