Question

10．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，椭圆的右顶点为A，点P在椭圆上，且PF₁⊥x轴，直线AP交y轴于点Q，若$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$，则椭圆的离心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由PF₁⊥x轴，求得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），由$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$可知，（-a，t）=3（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$-t），即可求得a=3c，由离心率公式可知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：如图，因为PF₁⊥x轴，A（a，0），
故x_P=c，y_P=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
设Q（0，t）
∵$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$，
（-a，t）=3（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$-t），
a=3c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$
故选B．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量的坐标运算，考查数形结合思想，属于基础题．