Question

18．已知数列{a_n}，a_n=n（a-ba_n），且a₂=$\frac{6}{5}$，a₃=$\frac{9}{7}$．
（1）求a₁，a_n；
（2）求证：a_n＜a_n+1
（3）求证：a_n∈[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）把已知的数列递推式变形，可得${a}_{n}=\frac{an}{1+bn}$，将a₂=$\frac{6}{5}$，a₃=$\frac{9}{7}$代入后可得关于a，b的方程组，求出a，b的值，则a₁，a_n可求；
（2）直接利用作差法证明数列不等式；
（3）由（2）可知，数列{a_n}为递增数列，由此求得a_n的范围得答案．

解答 （1）解：由a_n=n（a-ba_n），得${a}_{n}=\frac{an}{1+bn}$，
将a₂=$\frac{6}{5}$，a₃=$\frac{9}{7}$代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{1+2b}=\frac{6}{5}}\\{\frac{3a}{1+3b}=\frac{9}{7}}\end{array}\right.$，解得：a=3，b=2，
∴${a}_{1}=\frac{3×1}{1+2×1}=1$，${a}_{n}=\frac{3n}{1+2n}$；
（2）证明：∵${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{3n+3}{2n+3}-\frac{3n}{2n+1}=\frac{（3n+3）（2n+1）-（2n+3）3n}{（2n+3）（2n+1）}$
=$\frac{6{n}^{2}+9n+3-6{n}^{2}-9n}{（2n+3）（2n+1）}=\frac{3}{（2n+3）（2n+1）}＞0$，
∴a_n＜a_n+1；
（3）证明：由（2）知，数列{a_n}是递增数列，
∴当n=1时，（a_n）_min=1，
又${a}_{n}=\frac{3n}{1+2n}$=$\frac{3}{2+\frac{1}{n}}＜\frac{3}{2}$，
∴a_n∈[1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了作差法证明是列不等式，属中档题．