Question

9．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$BC=2，∠ABC=90°，D为CC₁中点，则AB₁与平面ABD所成角的正弦值是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 过B₁作B₁M⊥BD于M，连接AM，则可证B₁M⊥平面ABD，故而∠B₁AM为AB₁与平面ABD所成的角，利用相似三角形及勾股定理计算AB₁和B₁M，即可得出sin∠B₁AM．

解答 解：过B₁作B₁M⊥BD于M，连接AM．
∵BB₁⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥BB₁，又AB⊥BC，BB₁∩BC=B，
∴AB⊥平面BCC₁B₁，∵B₁M?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁M．又B₁M⊥BD，AB∩BD=B，
∴B₁M⊥平面ABD．
∴∠B₁AM为AB₁与平面ABD所成的角．
∵AA₁=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$BC=2，
∴AB₁=$\sqrt{6}$，CD=1，BC=$\sqrt{2}$，∴BD=$\sqrt{3}$．
∵△B₁BM∽△BDC，∴$\frac{{B}_{1}M}{BC}=\frac{B{B}_{1}}{BD}$，∴B₁M=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴sin∠B₁AM=$\frac{{B}_{1}M}{A{B}_{1}}$=$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了线面角的计算，属于中档题．