Question

8．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对于定义域内的任意x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，且f（2）=1．
（1）求f（4）；
（2）证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式 f（2x²-1）＜2．

Answer 1

分析 （1）把4分为2×2，令x₁=x₂=2，利用已知的等式化简后，将f（2）=1代入计算即可求出值；
（2）设任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，表示出f（x₁）-f（x₂），判断其差为负即可得证；
（3）根据题意得到f（1）=f（-1）=0，得到f（x）=f（-x），将2变为f（4），根据减函数的性质化简不等式，求出解集即可．

解答 （1）解：∵f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0，且f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2；
（2）证明：设任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-（f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$））=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
由题可知$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，即f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解：由题可得f（1）=0，f（-1）=0，
∴f（x）=f（-x），
变形得：f（2x²-1）＜2=f（4），且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴0＜|2x²-1|＜4，
解得：-$\frac{\sqrt{10}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{10}}{2}$，且x≠±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则不等式的解集为{x|-$\frac{\sqrt{10}}{2}$＜x＜$\frac{\sqrt{10}}{2}$，且x≠±$\frac{\sqrt{2}}{2}$}．

点评 此题考查了函数与方程的综合运用，函数增减性的判定与性质，利用了转化的思想，弄清题中规定的运算法则是解本题的关键．