Question

如图，在空间直角坐标系中，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（

3

2

，

1

2

，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（1）求|

AD

|；
（2）求cos＜

AD

，

BC

＞．

Answer 1

考点：空间向量的夹角与距离求解公式

专题：空间向量及应用

分析：（1）过D作DE⊥BC，垂足为E．求出

AD

，由此利用向量法能求出|

AD

|．
（2）求出

BC

=（0，2，0），由此利用向量法能求出cos＜

AD

，

BC

＞．

解答：（本小题满分12分）
解：（1）如图，过D作DE⊥BC，垂足为E．
在Rt△BCD中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
得BD=1，CD=

3

，所以DE=CD•sin30°=

3

2

，
OE=OB-BD•cos60°=1-

1

2

=

1

2

．
所以D点坐标为（0，-

1

2

，

3

2

），
所以

AD

=（-

3

2

，-1，

3

2

），
所以|

AD

|=

(- 3 2 )2+(-1)2+( 3 2 )2

=

10

2

．
（2）又因为B（0，-1，0），C（0，1，0），
所以

BC

=（0，2，0），|

BC

|=2，
故

AD

•

BC

=

3

2

×0+（-1）×2+

3

2

×0=-2，
所以cos＜

AD

，

BC

＞=-

2

10

=-

2

10

=-

1

5

10

．

点评：本题考查线段长的求法，考查向量的夹角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．