Question

如果以原点为圆心的圆经过双曲线C：（a＞0，b＞0）的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3：1的两段弧，则双曲线的离心率为________．

Answer 1

分析：由题意可得圆O的圆心为原点，半径为a．根据圆O被双曲线的右准线分成弧长之比为3：1的两段弧，得到直线x=被圆O截得A、B两点，△AOB是以AB为斜边的等腰直角三角形，由此可得=a，由此解出离心率
解答：∵双曲线C：（a＞0，b＞0）的顶点坐标为（±a，0），
∴圆O的方程为x²+y²=a²
∵双曲线的右准线：x=交圆O于AB两点，优弧AB长是劣弧AB的3倍
∴∠AOB=90°，可得△AOB是以AB为斜边的等腰直角三角形
所以=a，可得e==
故答案为：
点评：本题以直线与圆相交构成等腰直角三角形为例，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．