Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且三角形的面积为S=$\frac{1}{2}$bccosA．
（1）求角A的大小；
（2）若c=8，点D在AC边上，且CD=2，cos∠ADB=-$\frac{1}{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的面积计算公式即可得出．
（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，$S=\frac{1}{2}bcsinA$，$S=\frac{1}{2}bccosA$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}bccosA$，
∴tanA=1，∵0＜A＜π，∴$A=\frac{π}{4}$．
（2）在△ABD中，∵$cos∠ADB=-\frac{1}{3}$，∴$sin∠ADB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，
∴由正弦定理得$BD=\frac{ABsin∠A}{sin∠ADB}=\frac{{8×\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{{2\sqrt{2}}}{3}}}=6$，
∴在△BDC中，由余弦定理得BC²=BD²+CD²-2BD•CD•cos∠BDC=32，
∴$a=4\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．