Question

14．已知函数f（x）=kx（k≠0），且满足f（x+1）•f（x）=x²+x，
（ I）求函数f（x）的解析式；
（ II）若函数f（x）为R上的增函数，h（x）=$\frac{f（x）+1}{f（x）-1}$（f（x）≠1），问是否存在实数m使得h（x）的定义域和值域都为[m，m+1]？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）利用f（x+1）•f（x）=x²+x，对一切x恒成立，得到k；
（II）由（ I）得到k为1，即f（x）的解析式，代入h（x），判断函数在[m，m+1]的单调性，得到关于m的方程组解之．

解答 解：（I）f（x+1）•f（x）=k（x+1）•kx=k²（x²+x）
所以（k²-1）（x²+x）=0对一切x恒成立，k²-1=0，得k=±1；
故f（x）=±x；                                                                      …6分
（II）因f（x）为R上的增函数，
所以f（x）=x，则$h（x）=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}，x≠1$
而h（x）在（-∞，1）和（1，-∞）上是减函数，
于是h（x）在[m，m+1]上单调递减，…8分
则$\left\{\begin{array}{l}h（m）=m+1\\ h（m+1）=m\end{array}\right.$解得m=-1或m=2．                                 …12分．

点评 本题考查了函数解析式的求法以及函数单调性的运用；属于中档题．