Question

11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f（x+1）+f（x）=0，且当0＜x＜1时，f（x）=2^x，则f（-$\frac{5}{2}}$）+f（4）=-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系将条件进行转化进行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f（x+1）+f（x）=0，
∴f（x+1）=-f（x），
则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
则函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（4）=f（0）=0，
∵当0＜x＜1时，f（x）=2^x，
∴f（-$\frac{5}{2}}$）=f（-$\frac{5}{2}}$+2）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$）=-${2}^{\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{2}$，
则f（-$\frac{5}{2}}$）+f（4）=-$\sqrt{2}$+0=-$\sqrt{2}$，
故答案为：-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性，利用是周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．