Question

如图①，已知ABC是边长为l的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD=AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将ABF沿AF折起，得到如图②所示的三棱锥A-BCF，其中BC=．

(1)证明：DE//平面BCF；

(2)证明：CF平面ABF；

(3)当AD=时，求三棱锥F-DEG的体积

 

Answer 1

(1)详见解析，(2)详见解析，(3)

【解析】

试题分析：(1)证明线面平行，关键找出线线平行.由折叠前后不变关系，可推出线线平行. 折叠前， ，在折叠后的三棱锥中 也成立, ，因此可由线面平行判定定理得证DE//平面BCF.(2)证明线面垂直，关键找出线线垂直. 在等边三角形中,是的中点,所以, 折叠后就是在三角形BCF中， ， ， ，由线面垂直判定定理可证：CF平面ABF .(3)求三棱锥的体积关键在于确定其高. 由（1）可知，结合（2）可得．所以根据锥的体积公式就可得到：.

试题解析：（1）在等边三角形中, 1

在折叠后的三棱锥中 也成立, 2

平面, 平面,平面 4

（2）在等边三角形中,是的中点,所以, 5

在三棱锥中,, 7

9

（Ⅲ）由（1）可知，结合（2）可得．

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考点：线面平行判定定理，线面垂直判定定理