Question

已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线经过点P（2，2），以上一点为圆心的圆过定点（0，1），记为圆与轴的两个交点．

（1）求抛物线的方程；

（2）当圆心在抛物线上运动时，试判断是否为一定值？请证明你的结论；

（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程；（2）在解决与抛物线性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此；（3）圆的弦长的常用求法：（1）几何法：求圆的半径，弦心距，弦长，则（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式；（4）基本不等式的使用求最值．

试题解析：（1）由已知，设抛物线方程为，，解得．

所求抛物线的方程为．-------3分

（2）法1:设圆心，则圆的半径=

圆C2的方程为．

令，得，得．

（定值）．

法2:设圆心，因为圆过，所以半径=，

因为在抛物线上，，且圆被轴截得的弦长

=（定值）

（3）由（2）知，不妨设，

考点：（1）求抛物线的标准方程；（2）求弦长为定值；（3）求最大值问题．