Question

6．已知P为函数$y=\frac{4}{x}$的图象上任一点，过点P作直线PA，PB分别与圆x²+y²=1相切于A，B两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，则△OMN的面积为$\frac{1}{8}$．

Answer 1

分析 设出P（x₀，y₀），得${x}_{0}•{y}_{0}=\frac{1}{4}$．再由圆系方程求出过两切点A，B的直线方程，分别求出M点，N点的坐标，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：设P（x₀，y₀），则${x}_{0}•{y}_{0}=\frac{1}{4}$．
以OP为直径的圆的方程为$（x-\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}+（y-\frac{{y}_{0}}{2}）^{2}=\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}{4}$，
整理得：x²+y²-x₀x-y₀y=0，
又圆x²+y²=1，
两式作差可得x₀x+y₀y=1，即过A、B两切点的直线方程．
取y=0，得$x=\frac{1}{{x}_{0}}$，取x=0，得y=$\frac{1}{{y}_{0}}$．
∴${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}|\frac{1}{{x}_{0}}||\frac{1}{{y}_{0}}|=\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$．
故答案为：$\frac{1}{8}$．

点评 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，求出AB方程是关键，是中档题．