题目内容

当m∈[-1，1]时，不等式2x2+mx-3＜0恒成立，求实数x的取值范围
（-1，1）
（-1，1）
．
分析：变换主元，构造函数f（m）=xm+2x2-3，从而可建立不等关系，即可求得实数m的取值范围．
解答：解：变换主元，构造函数f（m）=xm+2x2-3
∵m∈[-1，1]时，不等式2x2+mx-3＜0恒成立
∴
f(-1)＜0
f(1)＜0
即 
2-x-3＜0
2+x-3＜0

∴x∈（-1，1）
故答案为：（-1，1）．
点评：本题以不等式为载体，考查恒成立问题，解题的关键是等价转化，构造新函数，属于基础题．
练习册系列答案
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已知数列{an}中，a1=2，an-an-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）写出a2、a3的值（只写结果）并求出数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
1
6
＞bn恒成立，求实数t的取值范围．
已知点(1，
1
3
)是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列an的前n项和为f（n）-c，数列bn（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=
Sn
 + 
Sn-1
(n≥ 2)．记数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，
（1）求数列an和bn的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
1
2
＞Tn恒成立，求实数t的取值范围．
已知点（1，
1
3
）是函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f（n）-c，数列{bn}（bn＞0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn-Sn-1=
Sn
+
Sn-1
（n≥2）．记数列{
1
bnbn+1
}前n项和为Tn，
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
1
2
＞Tn恒成立，求实数t的取值范围
（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
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（Ⅱ）设Tn=
1
Sn+1
+
1
Sn+2
+…+
1
S2n
，当m∈[-1，1]时，对任意n∈N*，不等式t3-2mt-
8
3
＞Tn恒成立，求t的取值范围．

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