Question

4．△ABC的外接圆半径为1，圆心点为O，$\overline{AB}+\overline{AC}+2\overline{OA}=\overline O，{\overline{OA}^2}={\overline{AB}^2}$，则$\overline{CA}•\overline{CB}$=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 根据圆的性质和向量的平行四边形法则可求出|$\overrightarrow{CA}$|和向量$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$的夹角．结合向量数量积的定义进行求解即可．

解答 解作直径AD，连结BD，CD．则2$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{DA}$．
∵2$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AD是直径，∴∠ACD=90°．
∴四边形ABDC是矩形，
∵|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{AB}$|=1，∴△ABO是等边三角形，
∴∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°，AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{3}$．
∴$\overline{CA}•\overline{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$||$\overrightarrow{CB}$|cos30°=$\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，利用圆的性质得出AC的长与向量的夹角是关键．注意要利用数形结合比较方便．