Question

8．设a≥1，f（x）=x|x-a|$+\frac{3}{2}$，若f（x）≥a对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 设g（x）=x|x-a|，由题意可以得到g（x）_min≥a-$\frac{3}{2}$，分1≤a≤2或a＞2，讨论即可求出a的取值范围．

解答 解：∵x|x-a|$+\frac{3}{2}$≥a对任意x∈[1，2]恒成立，
即x|x-a|≥a-$\frac{3}{2}$恒成立，
设g（x）=x|x-a|，在x∈[1，2]恒成立有g（x）≥a-$\frac{3}{2}$，
∴g（x）_min=a-$\frac{3}{2}$，
当1≤a≤2时，g（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-a），a≤x＜2}\\{x（a-x），1≤x＜a}\end{array}\right.$
故g（x）在[1，2]上的最小值为g（a）=0，
即0≥a-$\frac{3}{2}$，解得1≤a≤$\frac{3}{2}$，
当a＞2时，g（x）=x（a-x），g（x）在x∈[1，2]恒成立有
g（x）≥a-$\frac{3}{2}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥a-\frac{3}{2}}\\{g（2）≥a-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥a-\frac{3}{2}}\\{2（a-2）≥a-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得a≥$\frac{5}{2}$
综上所述a的取值范围为[1，$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查带绝对值的函数，考查函数恒成立问题，突出考查转化思想与分类讨论思想、方程思想的综合应用应用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于难题．